円の回転数はなぜ2回転なのか

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今日は、中学受験の生徒さんからよくいただく算数についてのお話です。円が円の周りをすべらないように回転するときの回転数は

 

円の回転数=(回転する円の)中心の移動距離÷(回転する円の)円周

 

で求められます。

 

例えば、1円玉(直径は2cm)の周りを1円玉が回転するとの回転数を考えてみましょう。

 

実際に動かしてみるとわかりますが、

 

1円玉の周りを回転する1円玉の中心は、半径2cm(直径4cm)の円を描きます。

 

よって、公式に当てはめると

 

1円玉の回転数=4×3.14 ÷(2×3.14)= 2

 

となり、1円玉は2回転することになります。

 

え!同じ円周である1円玉を回転させるわけだから1回転じゃないの・・・???

 

違うんです。

 

例えば、月が常に同じ面を向けて地球の周りを回っていることは理科で習った人も多いと思いますが、

 

月自身は同じ面を地球に向けていますが、地球の周りを一周する間に一回転していますよね。

 

つねに同じ面を向けているということは、すべりながら一回転していることになります(実際に1円玉を動かしてみるとわかります)。

 

つまり円の周りを一回転する円は、自身については円を一周しているうちに余分に1回転しているわけです。

 

 

例えば、半径Rの円の周りを半径R’の円が回転していると考えたとき、

 

回転数は 2Rπ÷2R’πだと考えた人が多いと思いますが、円周を動いているうちに余分に一回転しているので

 

回転数=2Rπ÷2R’π+1 と+1が必要です。この式を変形していくと

 

=2Rπ/2R’π+1

 

=2Rπ/2R’π+2R’π/2R’π

 

=(2Rπ+2R’π)/2R’π

 

=2(R+R’)π/2R’π

 

となり、冒頭の公式(円の回転数=中心の移動距離÷円周)となります。

 

一度、1円玉の周りを1円玉を転がしてみましょう。

 

上の公式通り、2回転することがわかります。

 

 

ちなみに長さL の直線上を回転する円(半径R)の回転数はL÷2Rπです。

 

ここでは、余分に1回転するという発想はありません。

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